【本報導由數學系 樂美亨助理教授研究團隊提供】

　　現今，3D影像的參數化已廣泛應用於電腦圖學與數位幾何處理。在本文中，我們提出了一種新穎的能量優化演算法，用於計算3D影像的保面積參數化。另一方面，在適當的假設之下，可以保證該算法之疊代具有非平凡的極限點。並透過數值實驗驗證其準確性、有效性和穩健性皆優於其他現存之算法。借助參數化算法，3D影像處理問題得以被快速而有效地解決。

 　　3D影像表面的幾何資訊，我們稱之為曲面。曲面的「參數化」指的是將曲面攤平，成為一個平面影像，是3D影像處理的核心技術。透過參數化，已近乎成熟的平面影像處理技術即可直接運用在3D影像處理的問題之中，特別是當3D影像的幾何形狀相當複雜時，透過適當的參數化，將曲面化為平面的簡單形狀，並透過點與點之間的對應關係，在平面上順利進行。本研究提出了一種新穎的能量優化演算法，用於計算3D影像的保面積參數化。現階段，我們的保面積參數化方法是當今世上最快速而有效的演算法，在3D影像處理的應用上具有相當的優勢。

　　曲面參數化已是被廣泛研究的核心問題。它被大量應用於處理3D影像的問題，例如3D影像的拼接、重建與材質貼圖。依照參數化所保持的幾何特性，大致可分為保角參數化和保面積參數化。其中，保角參數化能夠妥善保持曲面的局部形狀，其數值演算法已蓬勃發展與應用。另一方面，保面積參數化能夠妥善保持曲面的局部尺寸，其數值演算法在近幾年來日漸受到重視。

　　2017年，我們成功開發了一種穩健而有效的保角能量最小化（Conformal Energy Minimization, CEM）演算法，用於計算曲面的保角參數化圓盤，至今仍是最快速的算法。本研究將保面積的條件引入能量泛函，成為一個非線性的拉伸能量，並將CEM演算法之能量優化疊代步驟推廣，進而發展了拉伸能量最小化（Stretch Energy Minimization, SEM）演算法，用於計算曲面的保面積參數化。

　　現階段，相較於其他最先進演算法，SEM演算法具備更高的穩健性、效率，以及準確度。在應用端，我們與國立交通大學丘成桐中心合作，利用三維掃描儀GeoVideo，擷取真實的人臉影像，借助本研究之參數化技術，讓全自動的臉部表情動畫生成得以有效地實現。在醫學影像的分析上，數值實驗初步顯示，SEM演算法將有機會被應用於簡化腦部組織形變及大腸息肉的檢測，潛能指日可待。

  
圖一：大腸曲面模型及其矩形保面積參數化