在二維蜂巢狀晶格上的 XY 模型之 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 相變的研究

115年09月10日

【本篇報導由物理學系  江府峻教授研究團隊提供】 　　本文利用類神經網絡（Neural Network, NN）和蒙地卡羅（Monte Carlo, MC）模擬等技術，研究了在二維蜂巢狀晶格上 XY 模型的 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) 相變。過去文獻指出，在特定合理的假設下，二維蜂巢狀晶格 XY 模型相應的臨界溫度 ΤBKT 恰好等於 \( \sqrt{1/2} \)。令人驚訝的是，本研究透過類神經網絡計算得到的ΤBKT 值為 0.572(3)，與 \( \sqrt{1/2} \)有顯著偏差。此外，研究團隊利用螺旋度模量分析，所得到的 ΤBKT 為 0.576(4)，與類神經網絡估計的結果高度一致。本研究指出，現有理論對二維蜂巢狀晶格 XY 模型臨界溫度的預測可能仍有修正空間，未來若能進行更詳細的解析計算來得到與本文數值結果一致的理論值，將會十分有意義。     　　物理上最常見的相變是跟「自發對稱破壞」相關的。仔細的說，描述某物理系統的模型有一對稱性，但實際上此對稱性在某些情況下並未存在，此即自發對稱破壞的機制。 　　當此系統的某種條件逐漸改變，而此條件超過某一臨界值時，上述所未觀察到的對稱性會恢復。也就是說此系統發生了相變，從無特定的對稱性的狀態（有序相）轉變到有此對稱性的狀態（無序相）。 　　相變除了跟自發對稱破壞相關的相變外，還有一種特別的相變，跟有序相或無序相無關，而只跟系統的拓樸性質相關，此種相變稱爲拓樸相變。而 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) 相變即是最有名的拓樸相變。 　　本研究使用類神經網絡及蒙地卡羅模擬的技術來研究與在二維蜂巢狀晶格上的古典 XY 模型相關的 BKT 相變。 　　所使用的類神經網絡是已經訓練完成，僅含有一層隱藏層的多層感知器，分析類神經網絡所輸出向量之量值隨溫度的變化。另外蒙地卡羅模擬則採用 Wolff 演算法。 　　利用半經驗公式及由多層感知器輸出的向量量值大小，本研究計算出在二維蜂巢狀晶格上的古典 XY 模型的相變溫度爲 0.572(3)。而從蒙地卡羅模擬所得到的螺旋度模量此物理量，可計算出此相變的相變溫度爲 0.576(4)，兩種不同方法得到的相變溫度是彼此相符的。然而，這兩個數值均明顯低於文獻中廣泛引用的理論預測值 \( \sqrt{1/2} \)。文獻上所計算的結果是簡化近似的結果，自然跟本研究正確的計算值有所出入。若未來能進行更詳細的解析計算來得到與本文數值結果一致的理論值，將會十分有意義。 圖一：所研究模型的螺旋度模量與溫度的關係圖。     原文出處： Jiang, F. J. (2024). Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Transition of the Two-Dimensional XY Model on the Honeycomb Lattice. Progress of Theoretical and Experimental Physics, 2024(10), Article 103A02. https://doi.org/10.1093/ptep/ptae147