【本篇報導由數學系  范洪源副教授研究團隊提供】

　　在本研究論文中，研究團隊主要考慮一類共軛離散時間代數黎卡迪方程式，該矩陣方程式源自於離散時間反線性系統的線性二次調節器控制問題。在某些廣泛的假設與固定點迭代的框架下，作者提出一個建構式證明方法，說明共軛離散時間代數黎卡迪方程式的最大解之存在性，其中控制權重矩陣和該方程式的常數項，分別為可逆矩陣與赫米特矩陣。除此之外，經由一些適當的初始矩陣，本研究更進一步地證明固定點迭代所生成的矩陣序列是非遞增的，並且該序列至少線性收斂至黎卡迪方程式的最大赫米特解。最後研究團隊給出一個範例說明主定理的正確性，並且由此提供該矩陣方程式內含其他有意義解的大量觀察。

　　本研究主要著重於探討共軛離散時間代數黎卡迪方程式(conjugate discrete-time algebraic Riccati equation)的可解性，其中所有係數均為複數矩陣。精確的來說，研究者期望找到某些適當的充分條件，使得該黎卡迪矩陣方程式具有一個可穩定的最大解(stabilizing and maximal solution)。此解在線性系統控制理論中扮演非常重要的角色，並且通常與最佳狀態回授控制器(optimal state feedback controller)的設計息息相關。

　　從現有的文獻可知，此類共軛離散時間代數黎卡迪矩陣方程式的出處，源自於離散時間反線性系統(discrete-time antilinear system)的線性二次調節器最佳控制問題(linear quadratic regulator optimal control problem)。該控制問題的主要目的是設計一個最佳狀態回授控制器，使得某個與系統狀態變數和控制變數有關的性能指標(performance index)達到最小值，並且其相應的閉迴路反線性系統(closed-loop antilinear system)滿足漸進穩定(asymptotically stable)的性質。倘若原來的控制系統是可控制的(controllable)，並且性能指標的控制權重矩陣(control weighting matrix)以及黎卡迪方程式的常數項分別為正定與半正定矩陣，則上述共軛離散時間代數黎卡迪方程式必有唯一的半正定解，並且透過此解所設計的最佳控制器可以完全滿足線性二次調節器問題的所有控制目標。因此基於這些因素，此唯一半正定解亦稱為共軛離散時間代數黎卡迪方程式的可穩定解(stabilizing solution)。此外，從上世紀中後期大量的線性控制理論文獻中可知，這類可穩定解始終在古典的線性二次調節器最佳控制問題中也扮演十分重要的角色。

　　有鑑於上述的應用問題的工程條件，從推廣數學理論的角度出發，研究團隊試圖在更廣義的情境，例如：假設控制權重為可逆的赫米特矩陣與黎卡迪方程式的常數項亦為赫米特矩陣(Hermitian matrix)的條件下，提出一些合理且廣泛的數學條件，以建構式證明技巧確保共軛離散時間代數黎卡迪方程式必有一個可穩定解惑是近似可穩定解(almost stabilizing solution)。值得注意的是，此理論結果亦可應用於前述控制問題的最佳狀態迴授控制器之設計。

　　至於如何運用建構式技巧證明（近似）可穩定的最大解之存在性呢？首先，針對共軛黎卡迪矩陣算子，研究團隊定義可穩定矩陣集合、黎卡迪矩陣不等式解集合與初始值集合。假若可穩定矩陣集合、黎卡迪不等式解集合均為非空集合，則由初始值集合的任意元素出發，並且在共軛黎卡迪矩陣算子所定義的固定點迭代(fixed-point iteration)架構下運行，研究團隊可以在數學上證明：一個經由固定點迭代所生成的矩陣序列必定滿足非遞增(nonincreasing)的單調性質，整個序列落在可穩定矩陣集合中並且於下有界(bounded below)，亦即黎卡迪矩陣不等式解集合的所有元素均為該序列的下界。是故，可以進一步地推論出此矩陣序列將至少線性收斂至共軛離散時間代數黎卡迪方程式的(近似)可穩定解，並且此赫米特解也是黎卡迪矩陣不等式解集合的最大元素。因此，此解亦可稱為共軛離散時間代數黎卡迪方程式的最大赫米特解(maximal Hermitian solution)。最後，研究團隊以一維的或是純量的共軛離散時間代數黎卡迪方程式為範例，說明上述理論結果的正確性與可行性。

　　因本研究成果僅著重於數學理論層面的推導，刻劃一些合理的充分條件使得共軛離散時間代數黎卡迪方程式具有一個可穩定的最大赫米特解。但是，從數值計算的觀點來看，目前在現有文獻中尚無有效率的數值演算法直接計算上述共軛黎卡迪矩陣方程式的最大解。雖說固定點迭代搭配適當的初始值集合是一種可行的數值算法，但其收斂速度僅為線性收斂，因此是否存在有效率且數值穩定的直接法(direct method)求解共軛離散時間代數黎卡迪方程式，這將是未來一個重要的計算議題。除此之外，該共軛黎卡迪方程式是否具有其他的極值解(extremal solution)呢？研究團隊中的蔣俊岳教授針對此問題，針對不同控制器的應用，提出對應數個極值解的存在性定理，范洪源教授也將處理這些極值解的同步高效能數值求解，期望未來能對共軛離散時間代數黎卡迪方程式的解集合有更深入的了解與認識。

原文出處：Fan, H. Y., & Chiang, C. Y. (2023). On the maximal solution of the conjugate discrete-time algebraic Riccati equation. Applied Mathematics Letters, 135, Article 108438. https://doi.org/10.1016/j.aml.2022.108438